Математическая точка не имеет координат
First page  Sitemap  Send a message 
Principles Poems Prose


Математическая точка не имеет координат

Точка является одним из фундаментальных понятий математики. В геометрии, топологии и близких разделах математики точкой называют абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик (нульмерный объект)!

В современной аксиоматике евклидовой геометрии точка является первичным понятием, задаваемым лишь перечнем его свойств. Например, считается, что точка якобы обладает координатами.

Координаты, в математике – это величины, определяющие положение точки в пространстве (x, y, z) или на плоскости (x, y). Положение точки на прямой определяется одной величиной – х:

Числовая ось

Рис. 1. Числовая ось.

Однако, будучи нульмерным объектом, то есть ничем, математическая точка не имеет ни определения, ни геометрического образа, ни размеров, ни размерности. Фактически, математическая точка не существует и потому не имеет вообще никаких свойств, кроме названия.

Докажем теперь, что математическая точка не имеет также геометрических координат.


ТЕОРЕМА. Безразмерная математическая точка не имеет координат

Доказательство.

Рассмотрим точку на числовой оси (рис. 1), соответствующую целому числу, например: x1 = 1.

Определим координату следующей точки x2. Поскольку соседние точки вплотную примыкают друг к другу, имеем:

x2 = 1+Δx при Δx→0.

В пределе:

x2 = 1+0 = 1;

x3 = 1+0+0 = 1;

или в общем виде:

xn = 1+0+...+0 = 1;

xn = x1.

Так как точки x1, x2, x3, xn – это разные точки, они принципиально не могут иметь совпадающих координат.

Следовательно, в общем случае определить координаты произвольной точки невозможно. В частности, невозможно определить относительные координаты точки, поскольку из-за нулевого размера точки её координаты не отличимы от координат базовой точки.

Таким образом, произвольная точка численно не различима, значит, не имеет собственных координат. Что и требовалось доказать.

Следствие

Если математическая точка имеет координаты, значит математическая точка объёмна.


18 июня 2014 года