Причины парадоксов математики

«В математике название парадокса применяется,
когда из кажущихся верными посылок получаются
противоречия, что доказывает ложность посылок»

Толковый математический словарь [1]

Аннотация

В статье приводится описание 135 математических парадоксов, из которых 125 принадлежат автору статьи, что составляет 93% от общего числа рассмотренных парадоксов. В работе вскрыты причины парадоксов и даны рекомендации по их устранению.

Предисловие

Что такое парадокс?

«Парадокс» звучит умней «абсурда»
И на слух приятней слова «чушь»,
Потому что макияж и пудра
Нам милее, чем холодный душ.

Вспомните, как нас учили в школе,
Что на «ноль» делить нельзя зело,
«Позабыв» поведать о приколе:
Ноль – ничто, а вовсе не число!

Ведь число должно иметь значенье:
Нет величины – и вуаля!
Но бывают круче исключенья:
«Меньше, чем ничто!» – левей нуля.

Впрочем, это закидоны чисел.
Людям геометрия мила,
Чтоб объект от чисел не зависел:
Линии, фигуры и тела.

Но у входа в рай – Евклида точка
Трижды без длины, безо всего.
Та же, что и прежде, заморочка –
Чистый ноль, точнее, ни-че-го!

Из «ничто» без формы и размеров
Состоят фигуры и тела.
Парадоксов множество примеров
Подтверждают глупости дела.

Так везде, почти в любом разделе
У царицы, что «Всея наук».
Но царица как бы не при деле:
Парадоксы – гениев досуг.

Откуда берутся парадоксы?

Из эпиграфа можно понять, что математический парадокс – это специфический литературный приём, призванный обратить внимание читателя на серьёзные огрехи в фундаменте математических теорий, незаметные глазу авторов этих теорий и их сторонников. Зачастую для усиления эффекта воздействия на читателя парадокс принимает ироничную или гротескную форму.

Наверное, многие задумывались над тем неоспоримым фактом, что ни одна из наук не может похвастаться таким обилием парадоксов, как математика. Почему это происходит именно с ней? Что подпитывает этот вечный генератор парадоксов?

Главная причина видится автору в канонизации – другими словами, в аксиоматизации – древних абстракций и концепций, что делает невозможным внесение изменений и исправлений в устаревшие догматы.

В результате, парадоксы из индикатора, сигнализатора проблемы превращаются в раздражающую помеху, от которой приверженцы «классицизма» стараются всячески избавиться, оставив причину проблемы в неизменном виде.

С этой целью парадоксы пытаются скрыть, развенчать или «решить» без устранения породивших их ошибок в теории. Ярким свидетельством тому могут служить многие из приведенных ниже парадоксов математики.

Продемонстрируем сказанное на примере самых древних парадоксов.

Парадоксы движения

Древнегреческий мыслитель Зенон был первым, кто за два с половиной тысячелетия до наших дней, высказал более 40 парадоксальных рассуждений о множестве и о движении. До нас дошли только 9 его парадоксов. В силу догматизма все они актуальны и поныне.

По словам Аристотеля [2], «незнание движения необходимо влечёт за собой незнание природы». Поскольку математика является инструментальной базой, прежде всего, естественных (природных) наук, начнём разговор именно с парадоксов движения:

Ахиллес и черепаха

Рис. 1. Ахиллес и черепаха.

Дихотомия (деление пополам). Чтобы преодолеть весь путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Поэтому движение никогда не начнётся.

Ахиллес. Быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленно убегающую черепаху, ибо необходимо, чтобы догоняющий прежде достиг той точки, откуда стартовал убегающий.

Стрела. Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

Стадион. Два бегуна движутся по стадиону навстречу друг другу. В этом случае один из них затратит на прохождение мимо другого столько же времени, сколько он затратил бы на прохождение мимо покоящегося. Значит, половина (времени прохождения) равна целому.

Конец света [3].
а) Излучение света атомом невозможно, так как квантовая природа света противоречит древней идее непрерывности пространства.
б) Распространение в пространстве самой быстрой сущности – света – никогда не начнётся по причине веры в бесконечную делимость пространства.

Конец света

Рис. 2. Чёрный квадрат.

Первые четыре парадокса этой группы принадлежат Зенону, последний – автору данной статьи.

В основе парадоксов «Дихотомия» и «Ахиллес» лежит противоречие между движением тела и верой в непрерывность пространства. При этом парадокс «Ахиллес», по сути, дублирует парадокс «Дихотомия».

Существование временны́х парадоксов «Стрела» и «Стадион» обусловлено противоречием между движением тела и уверенностью в бесконечной делимости временно́го интервала. Парадокс «Стадион» является модификацией парадокса «Стрела».

Таким образом, все парадоксы движения являются следствием ставшего ложным (после открытия атома) допущения о непрерывности пространства и времени в смысле их бесконечной делимости.

В свою очередь, непрерывность вытекает из веры в нулевой размер мельчайших частиц пространства и времени, а также из пренебрежения законом диалектики о переходе количества в качество. Например, «бесконечное» количество разбиений отрезка заканчивается обязательным переходом отрезка в новое качество – точку.

Казалось бы, для устранения парадоксов движения достаточно признать математическую точку идеализацией атома материи, наполняющей пространство, сопоставив её с «единицей». Дополнительно необходимо ноль соотнести с гиперточкой – идеализацией неделимой частицы гиперпространства (эфира), то есть с «гиперединицей» [4].

Однако, несмотря на столь простой выход, причины парадоксов движения до сих пор остаются не устранёнными. Более того, сторонники догматизма предпринимают самые изощрённые контрмеры к тому, чтобы сохранить все ложные догматы в неприкосновенности, а именно:

утаивание факта существования парадоксов от школьников и студентов;
отыскание в парадоксах несуществующих логических ошибок;
прямое извращение сути парадоксов, например, приписывание Зенону стремления показать, что всё сущее неподвижно, а наблюдаемое движение является лишь иллюзией;
объявление парадоксов софизмом, хитроумной выдумкой, трюком;
введение в заблуждение заявлениями об успешном «решении» парадоксов без внесения малейших исправлений в проблемные разделы математики.

Подтверждением сказанному является приведенный ниже постоянно расширяющийся и пополняющийся список математических парадоксов.

Числовые парадоксы

Парадоксы этой группы, кроме первого, принадлежат автору статьи.

Ничто

Рис. 3. Ничто.

Ничто. Ноль не имеет числовой величины, однако считается числом; при этом делить на «число ноль» запрещено.

Ничтее ничто. Ноль – это ничто, полное отсутствие чего-либо, однако в математике используются числа, ещё меньшие, чем ничто – это отрицательные числа.

Что ничтее? Отрицательные числа меньше нуля, но при этом бесконечно малыми считаются числовые последовательности, стремящиеся не к минус бесконечности, а к нулю.

Несоизмеримость. Провести диагональ внутри квадрата невозможно – диагональ и квадрат удастся изобразить только по отдельности, так как длина диагонали несоизмерима с длиной стороны квадрата.

Идеальный карандаш. Самый малый отрезок конечной длины нельзя начертить идеальным карандашом, толщиной в одну точку, потому что для воспроизведения всей последовательности составляющих его точек потребуется затратить бесконечно большое время.

Причиной табу деления на ноль является его внутренняя противоречивость. С одной стороны, ноль как число обязан иметь величину (числовое значение). С другой стороны, ноль по определению не должен иметь величины. Тем самым, идея «числа ноль» является изначально ложной, поскольку нарушает логический закон непротиворечия. Подтверждение сказанному можно найти в парадоксе Зенона Мера: «если вещь не имеет величины, она не существует». Поэтому делить на несуществующий ноль невозможно.

Парадоксы отрицательных чисел объясняются противоестественным (неприродным) происхождением таких «чисел».

Два последних парадокса – результат веры в нулевой размер точки и, как следствие, в непрерывность и бесконечную делимость.

Парадоксы нуля

Парадоксы нуля сформулированы автором данной статьи.

Число ноль нельзя использовать в числовой операции (деления в качестве делителя).

Священное табу

Рис. 4. Священное табу.

Любое число обязано иметь числовую величину, однако число ноль не имеет числового значения по определению.

В одних задачах число ноль имеет строго пустое значение и одновременно в других задачах число ноль имеет непустое пренебрежимо малое, бесконечно убывающее числовое значение.

Существует математический объект (точка), у которого не существует ни длины, ни ширины, ни глубины, то есть отсутствует величина.

Первокирпичик парадоксов

Рис. 5. Первокирпичик парадоксов.

Из философии известно, если нечто не имеет величины, то оно не существует, однако несуществующее число ноль в математике используется.

Из физики, а также из эзотерических источников известно, что в природе нет пустоты, однако в математике существует специальное число (ноль) для обозначения того, чего нет в природе.

Ноль обычно отождествляется с началом координат и одновременно рассматривается как недостижимый предел (например, асимптота гиперболы).

Ноль считается целым числом, однако целочисленность нуля противоречит допущению о его сверхмалой (дробной) величине.

Ноль считается натуральным числом, хотя из-за отсутствия числового значения он не является числом, а из-за несуществования пустоты в природе (натуре) не может быть натуральным.

Ноль считается чётным числом, потому что половина пустоты равна всей пустоте: 0/2=0.

Ноль считается положительным числом, потому что части пустоты равны всей пустоте, а отрицательные числа должны быть меньше пустоты.

Устранения всех парадоксов этой группы можно добиться, наделив ноль непустым, пренебрежимо малым числовым значением.

Физический смысл нуля – гиперчастица физического «вакуума», составная часть всех нуклонов трёхмерной материи – четырёхмерный амер, элементарный электрон-позитронный вихрь, который на столько же порядков меньше атома, на сколько яблоко меньше планеты.

Геометрический смысл нуля – гиперточка, идеализация гиператома (амера). При этом, точка считается идеализацией трёхмерного атома.

Математический смысл нуля – арифметическая интерпретация гиперединицы (гиперточки), величина которой на 7-8 порядков меньше величины мельчайшей трёхмерной единицы (точки).

3D-ноль равен 4D-гиперединице

Рис. 6. 3D-ноль равен 4D-гиперединице.

Парадоксы непрерывности

Одним из наиболее парадоксообразующих математических понятий является отсутствующая в реальном мире «непрерывность». Впервые эта группа парадоксов была опубликована автором в работе «Парадоксы самой точной науки».

Якобы непрерывное пространство Вселенной состоит из дискретных Галактик.

Якобы непрерывное пространство Галактик состоит из дискретных небесных тел.

Якобы непрерывная материя состоит из дискретных атомов.

Якобы непрерывные атомы состоят из дискретных субатомных частиц.

Якобы непрерывная частица эфира (амер) состоит из дискретных электрона и позитрона.

Якобы непрерывная видеозапись движения состоит из дискретных кадров.

Якобы непрерывное время состоит из дискретных моментов и событий.

Якобы непрерывный свет состоит из дискретных квантов.

Якобы непрерывный (сплошной) спектр вещества состоит из дискретных (линейчатых) спектров атомов.

Якобы непрерывный числовой интервал состоит из дискретных отрезков.

Якобы непрерывный отрезок состоит из дискретных точек.

Поэтому:

для адекватного описания дискретных свойств материи, пространства, времени, энергии и информации необходимо использовать непрерывную математику;

для точного соответствия дискретному характеру мыслительных процессов в виде дискретных посылок, дискретных образов и дискретных выводов нужна непрерывная математика;

для строгого отражения дискретной природы логических констант и дискретной сути законов логики требуется аналоговая математика.

Устранение парадоксов данной группы требует отказа от скомпрометировавшей себя концепции непрерывности в пользу подтверждённой научными исследованиями концепции дискретности материи, пространства, времени, энергии и информации.

После отказа от идеи континуума вместе с «парадоксами непрерывности» из математики также исчезнет искажающая реальность абстракция бесконечной дроби.

Парадоксы потенциальной бесконечности

Все парадоксы потенциальной бесконечности принадлежат автору статьи.

Неоднозначность

Рис. 7. Неоднозначность.

Неоднозначность. Бесконечность – это одна или сразу несколько ситуаций из следующего перечня:
– когда числовая последовательность безгранично возрастает/убывает (потенциальная бесконечность);
– когда последовательность асимптотически стремится к пределу;
– когда размер последовательности или совокупности неопределён или неизвестен;
– когда точное количественное значение не интересует или оно не принципиально;
– когда числовая последовательность якобы достигла конца (актуальная бесконечность).

Недостижимость. Теоретически предел достижим только в бесконечности, то есть никогда, а практически достижим мгновенно.

Неуловимость. Бесконечные числа (например, иррациональные) нельзя использовать, так как они не имеют ни точного числового значения, ни точного места на числовой оси. Если бесконечные числа всё же используются, значит их «бесконечная» точность, на практике, никому не нужна.

Непрерывность. Произвольный бесконечно малый числовой интервал якобы бесконечно делим.

Несовместимость. Потенциальная бесконечность не совместима с актуальной бесконечностью, но при этом обе используются одновременно.

1. Противоречие заключено в размытом, многозначном характере термина «бесконечность». Для разрешения противоречия требуется переход от линейной «бесконечности» к циклической (спиральной) периодичности.

2. Противоречие устраняется за счёт придания нулю смысла гиперединицы, имеющей конечное гипермалое значение.

3. Для снятия противоречия требуется отказ от идеи бесконечной делимости числового интервала и переход к идее числового кванта, то есть к понятию гиперединицы.

4. Противоречие разрешается введением неделимого числового кванта, имеющего смысл гиперединицы. Физический смысл – гиператом гиперматерии четырёхмерного пространства (эфира).

5. Противоречие устраняется отказом от идеи осуществлённой (актуальной) бесконечности, существование которой невозможно в силу приведенных ниже аргументов.

Парадоксы актуальной бесконечности

Парадоксы актуальной бесконечности сформулированы автором статьи.

Тупик

Рис. 8. Тупик.

Нелепость. В математическом термине «актуальная бесконечность» смысл слова «актуальная» противоречит смыслу слова «бесконечность».

Вселенская звезда. Актуальная бесконечность в математике существует, а самой большой звезды, размером со всю Вселенную, в природе нет.

Вселенская пустота. Актуально бесконечная Вселенная пуста.

Вселенский ступор. Актуально бесконечная Вселенная неподвижна.

Вселенский мрак. В актуально бесконечной Вселенной распространение света невозможно.

1. Актуальная бесконечность не может существовать по определению, так как в самом этом понятии заложено неразрешимое логическое противоречие. Первое слово означает «реально существующая в текущий момент времени», что, в свою очередь, предполагает обязательное завершение числового ряда к текущему моменту времени. Однако первая часть термина вступает в противоречие со второй его частью, поскольку слово «бесконечность» однозначно свидетельствует о принципиальной незавершённости числового ряда или процесса (об отсутствии конца). Другими словами, если бы бесконечный ряд или процесс существовал реально, то он был бы полностью завершён, то есть приобрёл бы конец и перестал быть бесконечностью.

2. В математике используется актуально бесконечный (уже завершённый) ряд натуральных чисел, следовательно, в математике существует самое большое натуральное число. Самая большая звезда, соответствующая самому большому числу, должна иметь размер всей Вселенной, однако звезда таких размеров отсутствует, так как мы видим, что во Вселенной остаётся достаточно свободного места и для других звёзд. Более того, пока не обнаружена звезда даже размером с Галактику, количество которых составляет сотни миллиардов.

3. Пусть имеется актуально бесконечная последовательность, сопоставленная с порядковыми номерами всех объектов Вселенной (от атомарной субчастицы до звезды). Известно, что Парижский актуально бесконечный ряд натуральных чисел начинается с нуля. Известно также, что в любой актуально бесконечной последовательности «часть равна целому». Таким образом, актуально бесконечная последовательность, начинающаяся с натурального нуля, будет равна своей части, то есть нулю.

4. В бесконечной Вселенной прекратилось бы всякое вращение: от мельчайших частиц до скоплений Галактик. Ведь для того, чтобы совершить хотя бы один оборот, надо вначале совершить 1/2 оборота. Но для этого надо первоначально совершить хотя бы 1/4-ю часть оборота. Значит, чтобы начать вращение, потребуется ещё раньше совершить оборот на 1/8-ю, 1/16-ю, 1/32-ю его часть и так далее до бесконечности. Ну, а поскольку выполнить всё это бесконечное число шагов возможно только за бесконечно большой промежуток времени, то никакое движение в актуально бесконечной Вселенной никогда не начнётся.

5. Актуальная бесконечность предполагает завершение любого бесконечного процесса, что возможно только в одном случае – при полном отсутствии времени. Однако при отсутствии времени прекращается любое движение. Следовательно, в актуально обездвиженной Вселенной невозможно даже распространение квантов света.

Парадоксы множеств

В эту группу включены для примера самые известные парадоксы.

Множественность Зенона. Если существующих вещей много, то их должно быть столь много, сколько их есть, – не больше и не меньше. А если их столь много, сколько их есть, то их число ограничено. Но если существующих вещей много, то их число неограничено – ибо всегда существуют другие вещи между существующими вещами, и снова другие между ними. И так число существующих вещей неограничено.

Множество всех множеств Кантора. С одной стороны, мощность множества всех множеств больше, чем мощность любого другого множества, но с другой стороны, для любого множества нетрудно указать множество большей мощности.

Мешок Зенона. Каждое отдельное зерно падает на землю бесшумно. Тогда отчего большой мешок зерна падает с шумом?

Куча Евбулида (IV век до Р. Х.). Одно зерно – не куча, добавление одного зерна не меняет дела, с какого же количества зёрен начинается куча?

Бессмыслица: Пустое множество – самый короткий парадокс!

Пустое множество

Рис. 9. Пустое множество.

Первые два парадокса разрешаются следующим образом: абстракция «Множество всех множеств» признаётся недопустимой, поскольку она является качественно иным понятием, чем «множество». Следует отметить, что это один из немногих примеров честного признания истинной причины парадокса.

Смысл следующих двух парадоксов – показать, что часть и целое являются качественно различными понятиями; как следствие, бесконечная делимость невозможна. Ответ на вопрос «с какого количества зёрен начинается куча?» очень прост: куча (на современном языке – множество) начинается со второго элемента, потому что два – это уже новое качество. К примеру: две точки являются простейшим отрезком, два атома – уже молекула, два человека – уже коллектив.

В бессмысленный термин «Пустое множество» изначально заложено противоречие. Будучи по определению совокупностью элементов, любое множество обязано содержать несколько элементов, так как термин «множество» происходит от слова «много». Кроме того, такие понятия, как «множество» и «элемент», являются «качественно» разными понятиями и не могут подменять друг друга. Для примера, отрезок, будучи набором точек, содержит минимум две крайние точки. Самый простой алфавит содержит не менее двух «букв»: точку и тире. Ноль же – эквивалент пустого множества – не является частью ни одного числа, его вообще нет, как нет и мифического «пустого множества». Вспомним Зенона: «если вещь не имеет величины, она не существует».

Финансовые парадоксы

Денежная ось

Рис. 10. Денежная ось.

Числовая ось начинается с нуля, а деньги – с единицы.

Числовая ось непрерывна, а деньги дискретны, или «штучны».

Числовая ось бесконечна, а денег всегда не хватает.

Числовая ось линейна, а деньги предпочитают «крутиться».

Числа могут быть несоизмеримы, а деньги соизмеримы всегда.

Числа бывают мнимыми, а мнимые деньги – фальшивыми.

Числа делимы бесконечно, а деньги – до копейки.

Все денежные парадоксы составлены автором статьи с целью обратить внимание, прежде всего, на противоречивый неудачный характер абстракции «числовая ось», которая, фактически, дискретна, ограничена (диапазоном от единицы до сверхединицы, или до «бесконечности» в терминах математики) и циклична. Смена, то есть замыкание, цикла происходит в момент перехода числового количества в новое качество – сверхединицу.

Противоестественный (неприродный) характер несоизмеримых, иррациональных, мнимых и бесконечных чисел вытекает из нулевого размера точки, а также по причине игнорирования диалектических различий между понятиями «отрезок» и «точка», «множество» и «элемент», «количество» и «качество».

Парадоксы точки

Парадоксы точки, отрезка, прямой взяты из ранней работы автора [5]. Здесь они дополнены парадоксами пространства и парадоксами пространственной размерности.

Парадоксы точки

Рис. 11. Парадоксы точки.

Образованные из безразмерных точек линии имеют длину, фигуры – площадь, тела – объём.

Состоящие из нульмерных точек линии одномерны, фигуры – двухмерны, тела – трёхмерны.

Геометрический объект «точка» не имеет даже геометрического, то есть графического образа.

Несуществующая безразмерная точка обладает положением в пространстве, то есть координатами.

Не имеющая абсолютно никаких свойств точка считается геометрическим объектом.

Нематериальная точка является математической моделью мельчайшей частицы материального мира.

Парадоксы этой группы являются первоосновой бо́льшей части других парадоксов и, как следствие, первопричиной многих математических несуразностей.

Эти парадоксы могут исчезнуть, если:

вспомнить учение Демокрита (470–370 гг. до Р. Х.) об атомах;
вспомнить слова Пифагора (570–496 гг. до Р. Х.) о том, что «начало всего – единица»;
вспомнить слова Зенона (490—430 гг. до Р. Х.): «если вещь не имеет величины, она не существует»;
понять, что ноль не существует, потому что в природе нет пустоты;
вспомнить квантовую природу света;
признать, что пространство дискретно, а его непрерывность – древнее заблуждение;
устранить догматический характер аксиом математики, придав им смысл научных гипотез;
исправить гипотезы Евклида (365–290 гг. до Р. Х.) о поверхности без глубины, о линии без ширины и глубины, о точке без размера, например, следующим образом:

Точка пространства – мельчайшая часть пространства, идеализация атома.
Линия – последовательность точек в одном направлении.
Прямая линия – последовательность точек в направлении, для которого перпендикуляры к прямой во всех точках параллельны.
Плоскость – последовательность прямых линий в направлении, перпендикулярном прямой.
Поверхность – последовательность линий в направлении, перпендикулярном линии; слой пространства толщиной в одну точку.
Пространство – совокупность точек в трёх перпендикулярных направлениях.

Парадоксы отрезка

Первое упоминание данных парадоксов можно найти в работе [5].

Парадоксы отрезка

Рис. 12. Парадоксы отрезка.

Состоящий из дискретных точек отрезок считается непрерывным.

Конечной длины отрезок содержит бесконечное количество точек.

Неравные отрезки содержат одинаковое (равное бесконечности) количество точек.

Количество точек в отрезке равно количеству точек в прямой.

Таким образом, часть равна целому.

Часть равна целому и одновременно «целое больше своей части» [8-я аксиома Евклида].

Размер отрезка не зависит от длины, а зависит от способа её вычисления [5].

Все парадоксы этой группы являются следствием ошибочных представлений о математической точке, поэтому выполнение приведенных выше рекомендаций по наделению точки размером автоматически приведёт к устранению и парадоксов отрезка.

Парадоксы прямой

Впервые парадокс прямой был сформулирован автором в статье [6]. Приведенная здесь подборка заимствована из работы [5].

Парадоксы прямой

Рис. 13. Парадоксы прямой.

«Прямая» бесконечна, а Земля круглая.

«Прямая», соединяющая две точки на поверхности Земли, является дугой идеальной окружности, опоясывающей Землю.

«Прямая», соединяющая две точки в околоземном пространстве, является дугой околоземной орбиты.

«Прямая», соединяющая две точки в межпланетном пространстве солнечной системы, является дугой «планетарной» орбиты.

«Прямая», соединяющая две точки в межзвёздном пространстве Галактики, является дугой «звёздной» орбиты.

«Прямая», соединяющая две точки в межгалактическом пространстве Вселенной, является дугой «галактической» орбиты».

Любая «прямая» является дугой, а «бесконечная» – циклом.

Анализ парадоксов этой группы показывает, что для трёхмерных объектов физического мира противоречие между прямолинейностью «прямой» и криволинейностью дуги проявляется только при очень больших (космических) размерах этих линий. Для космических траекторий трёхмерной точки характерны не только космические расстояния, но и космические скорости:

Так для отрыва траектории 3D-точки от поверхности Земли потребуется 1-я космическая скорость, равная 7,9 км/с.
Для перехода 3D-точки с околоземной траектории на околосолнечную будет нужна 2-я космическая скорость, равная 11,2 км/с.
Чтобы покинуть солнечную систему, 3D-точке понадобится 3-я космическая скорость, равная 16,65 км/с.
Покинуть пределы Галактики 3D-точка может только с 4-й космической скоростью, равной не менее 550 км/с.

В то же самое время траектория 4D-фотона в эфирном пространстве космоса (за пределами земной атмосферы) будет строго прямолинейной [7]. Тем более прямолинейной (и бесконечной) будет траектория движения 7D-мыслеобраза точки в ментальном пространстве нашего воображения [7], [8].

Парадоксы пространства

Парадоксы этой и следующей группы, за исключением парадокса «Место», принадлежат автору данной статьи.

Парадоксы пространства

Рис. 14. Парадоксы пространства.

Тела занимают конечный объём, а образующие их точки не имеют объёма.

Количество точек на прямой якобы равно количеству точек на плоскости и в объёме, но на чертеже все фигуры занимают разное место.

Количество точек в объёме стакана и в объёме ведра одинаково, однако вода из ведра не помещается в стакане.

Место Зенона. Если всё существующее помещается в известном пространстве (месте), то ясно, что будет и пространство пространства, и так идёт в бесконечность.

Игла Кощея. Рекурсия вложенных пространств бесконечна, но в океан вложен остров, в остров – дуб, в дуб – ларец, в ларец – заяц, в зайца – утка, в утку – яйцо, в яйцо – игла, а у иглы есть конец. ☺

Первые три парадокса исчезают после наделения математической точки объёмом.

Бесконечную вложенность пространств Зенона проверить, к сожалению, невозможно, но эзотерические источники называют семь уровней пространственной вложенности (плюс семь уровней эфирных сред [7] по гипотезе автора данной статьи).

Все кощеевы пространства трёхмерны, потому что они наполнены трёхмерной материей, в основе которой – трёхмерные атомы. Вложенность пространств одной размерности неполная (без «растворения» материи одного тела в материи другого тела), поскольку материя разных тел одной и той же размерности образована атомами одного размера. Например, размер всех трёхмерных атомов имеет порядок 10^-8 см, в связи с чем атомы одной размерности не могут проникать друг в друга.

Парадоксы размерности

Рис. 15. Парадоксы размерности.

Многокомпонентные векторы (х₁, х₂, х₃, ... х_n), компоненты которых не имеют даже малейшей связи с пространством, причисляют к «многомерным» векторам.

Многокомпонентные конструкции, никак не связанные с пространством, отождествляют с «многомерными пространствами».

Объём является главным атрибутом любого пространства, но у «пустого пространства», образованного точками нулевого размера, объём отсутствует полностью.

Линейная последовательность математических точек причисляется к одномерным «пространствам», «объём» которых можно измерить только в линейных метрах.

Поверхность, состоящая из математических точек отождествляется с двухмерным «пространством». «Объём» таких «пространств» можно измерить только в единицах площади.

Классические «пространства» Евклида, Лобачевского и Римана являются поверхностями [9] и, следовательно, обладают только двумя характеристиками протяжённости, что недостаточно для вычисления объёма.

«Объём» пространства-времени Минковского имеет четыре характеристики «протяжённости» и измеряется в кубометро-часах.

«Площадь» 4D-гиперпространства измеряют в кубометрах [10, с. 37], а «объём» – в тетраметрах.

Суть первых двух парадоксов заключается в подмене понятия «многокомпонентность» понятием «многомерность». В результате, в категорию многомерных пространств незаконно попадают произвольные непространственные объекты.

Остальные парадоксы этой группы являются следствием первых двух, что выражается через отсутствие у непространственных объектов важнейшей пространственной характеристики – объёма.

Парадоксы многомерности

Все приведенные в статье парадоксы являются «побочным» результатом тщетных попыток воспользоваться существующим математическим аппаратом для описания РЕАЛЬНЫХ многомерных пространств, с которыми автору довелось неоднократно иметь дело.

Поскольку у автора была реальная возможность наблюдать и оценить сверхсвойства многомерных пространств, стало ясно, что созданный для трёхмерного пространства якобы многомерный матаппарат принципиально не годится для понимания и описания пространств высшей размерности.

При этом, главным камнем преткновения является математический догматизм, вытекающий из аксиоматического подхода, что делает математику невосприимчивой к научным открытиям и ведёт к замалчиванию, отрицанию и дискредитации высших пространственных проявлений, идущих вразрез с устаревшими математическими представлениями о мире.

В первую очередь, проблемы математического описания многомерных пространств связаны с догматами нуля (пустоты), непрерывности и бесконечной делимости пространства, являющимися следствием игнорирования математикой законов логики (закона достаточного основания и закона непротиворечия) и диалектики (закона перехода количественных изменений в качественные).

Сказанное выражается, в частности, через парадоксы многомерных пространств:

Аквариум и крот

Рис. 16. Аквариум и крот.

Пространственная среда. Все трёхмерные физические тела перемещаются в трёхмерной среде, а трёхмерные космические тела и четырёхмерные субатомные частицы – в реально несуществующей математической пустоте.

Колебания частиц среды. Сейсмические колебания распространяются в твёрдой (плотной) среде, цунами – в жидкой (тонкой) среде, звуковые колебания – в воздушной (ещё более тонкой) среде, и только электромагнитные колебания чудесным необъяснимым образом распространяются в отсутствии любой среды, то есть в несуществующей в природе математической пустоте.

Пустота в квадрате. Все 3D-тела и 3D-среда состоят в математике из пустых точек и являются пустотой; таким образом, весь 3D-мир – это пустота, пребывающая в пустоте.

Гипермногогранники. Четырёхмерные объекты (радиоволны, привидения) свободно перемещаются СКВОЗЬ трёхмерные тела, а якобы четырёхмерный якобы гиперкуб (тессеракт) не может проникнуть в более примитивный трёхмерный куб, потому что оба состоят из трёхмерных атомов.

Аквариум и крот. Плотная вода не может проникнуть в более тонкую материю – в растворённый в воде воздух, зато через «кротовые норы» трёхмерный крот якобы может свободно проникать в гипертонкую материю гиперпространств.

Пространство-время. Трёхмерные обитатели «четырёхмерного» пространства-времени Минковского обязаны обладать сверхсвойством перемещения в четвёртом (временно́м) направлении: как в будущее, так и в прошлое.

Суперструны. Обитателям «многомерного» суперструнного пространства вместе с осями высших измерений пришлось «схлопнутся» до микроскопических размеров в колечки, трубочки и бублички, однако четырёхмерным призракам, например, удалось сохранить те же размеры, что были у их трёхмерных копий.

Пространство-время

Рис. 17. Пространство-время.

Для разрешения парадоксов многомерности требуется, прежде всего, понимание принципов многомерности, что невозможно без уточнения, дополнения и переработки основ трёхмерной геометрии, заложенных ещё несколько тысячелетий назад.

Как вариант, можно воспользоваться приведенными ниже авторскими определениями базовых понятий многомерной геометрии:

○ Точка пространства – мельчайшая часть пространства, идеализация атома.
○ Линия – последовательность точек в произвольном направлении.
○ Прямая линия – последовательность точек в направлении, для которого перпендикуляры во всех точках параллельны.
○ Плоскость – последовательность прямых линий в направлении, перпендикулярном линии.
○ Поверхность – последовательность линий в направлении, перпендикулярном линии; слой пространства высотой в одну точку.
○ Пространство – свойство материи занимать определённый объём.
○ Объём – произведение характеристик протяжённости материи в трёх перпендикулярных направлениях: по длине, ширине и высоте (глубине).
○ Материя – совокупность атомов.
○ Атом – мельчайшая неделимая (в философском смысле) часть материи, сохраняющая все её свойства.
○ Размерность материи/пространства определяется размером атома/точки.
○ Размер атома/точки – совокупность свойств протяжённости и вложенности.
○ Протяжённость материи/пространства – суммарная протяжённость атомов/точек в каждом из трёх перпендикулярных направлений.
○ Вложенность материи/пространства – свойство гиператома/гиперточки проникать внутрь атома/точки и гиператома/гиперточки, меньшей размерности.
○ Гиператом – мельчайшая неделимая часть гиперматерии. Размер гиператома на несколько порядков меньше размера атома.
○ Гиперматерия – совокупность гиператомов.
○ Гиперточка – мельчайшая часть гиперпространства, идеализация гиператома. Размер гиперточки на несколько порядков меньше размера точки.
○ Гиперпространство – совокупность гиперточек.

Парадоксы нематериальности

В СССР не было секса, но его следствие – дети – были. В математике нет материи, но её порождение – пространство – существует.

Фантом. Все математические объекты состоят из точек. Поскольку точка не имеет размера, она не обладает объёмом и, следовательно, нематериальна. Всё сущее есть материя; таким образом, все нематериальные математические объекты не существуют ни в 3D-физическом мире, ни в 7D-мире мыслей [8].

Непорочность. В математике нет материи, но есть пространство, являющееся свойством (занимать определённый объём) материи, которой в математике нет.

Гиперфикция. Математика оперирует понятием многомерного пространства, но при этом не признаёт даже четырёхмерной материи – эфира, подменяя гиперматерию либо пустотой, либо 4D-континуумом, объём которого измеряется в кубометро-часах, протяжённость – в метро-часах, а скорость – в метрах.

А эфира нет!

Рис. 18. Гиперфикция.

Для исчезновения парадоксов этой группы достаточно осознать, что пространство без материи не существует в принципе.

Парадоксы случайности

Впервые парадоксы этой группы были опубликованы автором в работе «Парадоксы самой точной науки».

Если фокусник достаёт из чужого кармана 100-долларовую купюру, это вовсе не означает, что она находилась там на самом деле. Если нам не известны причины тех или иных событий, это не повод считать такие события безпричинными, то есть случайными.

Следует отметить, что случайные (происходящие самопроизвольно) события абсурдны как с точки зрения религии, так и с позиций атеистической науки. Тем не менее, многие учёные придерживаются взгляда на случайность, как на объективную реальность. Разумеется, такой подход не только парадоксален по сути, но и чреват появлением новых противоречий и парадоксов.

Случайность

Рис. 19. Случайность.

Во-первых, случайность противоречит «Закону причин и следствий», частным случаем которого является третий закон Ньютона. Проявление этого закона в духовной сфере носит название закона Кармы.

Во-вторых, случайность странным образом направлена всегда в одну сторону – к деградации, разрушению, хаосу, например: «случайно» прорвало трубу, «случайно» украли кошелёк, «случайно» упал и сломал ногу... Почему-то никто нигде и никогда не слышал о созидательных проявлениях случайности, к примеру: случайно отросла ампутированная нога, случайно восстановился разбитый автомобиль, случайно вернулся на место упавший с крыши кирпич...

В-третьих, направленность случайности к хаосу противоречит наблюдаемому в природе принципу структурирования материи, например: первоматерии – в частицы и атомы; атомов – в молекулы и клетки; молекул – в планеты, звёзды и Галактики; клеток – в организмы...

В-четвёртых, случайность исключает из созидательного, творческого процесса главное звено – Творца.

В-пятых, вера в случайность позволяет приписать способность к созиданию самой разрушительной силе – взрыву.

Парадоксы данной группы исчезнут, если рассматривать «случайность» как меру нашего текущего незнания законов природы или как удобный искусственный приём изучения очень сложных природных процессов или явлений.

Диалектические парадоксы

Парадоксы этой группы по замыслу автора должны продемонстрировать тот факт, что математика не дружит с диалектикой.

Мера Зенона. Если есть множественность (бесконечное деление), нужно, чтобы вещи были в одно и то же время настолько малы, чтобы не иметь величины, и настолько велики, чтобы быть бесконечными.

Количественные изменения всегда и везде приводят к изменениям качественным, но основы математики при этом остаются незыблемыми на протяжении тысячелетий.

Количественные изменения неизбежно заканчиваются скачкообразными качественными изменениями, однако математическая числовая ось считается непрерывной, линейной и бесконечной.

Числовая ось якобы бесконечна и непрерывна, а частотная ось излучений атома заканчивается гамма-квантом, причём частоты разных квантов дискретны.

Любое число можно якобы бесконечно делить пополам, а распад радиоактивного вещества заканчивается распадом последнего радиоактивного атома.

Бесконечно малый отрезок якобы бесконечно делим, а отрезок микропроволоки длиной 10 см уже после 30-ти делений пополам превращается в атом, дальнейшее деление которого ведёт к исчезновению исходного вещества, то есть объекта деления.

Числа якобы можно бесконечно увеличивать, однако 30-ти кратное удвоение размеров физического тела (к примеру, яблока) приводит к масштабам качественно иного объекта – космического тела (планеты). На 120-м шаге процедура удвоения размеров физического тела приведёт к выходу за границы Вселенной, то есть сделает дальнейшие количественные изменения бессмысленными.

Жизнь – это движение, а базовые аксиомы математики неподвижны третье тысячелетия подряд.

Движение и аксиомы

Рис. 20. Движение и аксиомы.

Объяснение парадокса «Мера». Если допустимо бесконечное деление вещи и это не изменяет качество вещи (например, нет перехода отрезка в точку), то в пределе получаем противоречие: вещь становится одновременно и бесконечно малой из-за её уменьшения в процессе деления, и бесконечно большой, поскольку бесконечно делить можно только бесконечно большие вещи.

Логические парадоксы

Большая часть упомянутых ранее парадоксов является следствием нарушения логических законов НЕПРОТИВОРЕЧИЯ и ДОСТАТОЧНОГО ОСНОВАНИЯ. По этой причине в данном разделе акцент сделан на парадоксальных результатах нарушения в математике логического закона ТОЖДЕСТВА.

Логические парадоксы свидетельствуют о наличии серьёзных проблем с логическим мышлением. Так современная математика, например, нарушения логического закона тождества связывает не с подрывом доверия к математическим выводам, а почитает за особую доблесть:

Истина и клоны. Создатель логики (Аристотель) считал, что «иметь не одно значение – значит не иметь ни одного значения», а современная математика с гордостью отождествляет себя с «искусством называть РАЗНЫЕ вещи одним и тем же именем» (Пуанкаре).

Факультативная логика. «Начала» Евклида считаются «школой логического мышления», но при этом в них имеются оставленные без внимания и никем некомментируемые нарушения в с е х законов формальной логики.

Secret space. Все определяемые Евклидом геометрические объекты являются элементами пространства, однако определение самого термина «пространство» в «Началах» отсутствует.

По секрету. Определение «пространства» в «Началах» Евклида отсутствует, но в аксиоме 9 и в ряде теорем загадочный термин упоминается.

Евклидова поверхность. Слово «пространство» в «Началах» Евклида употребляется исключительно как синоним термина «поверхность», хотя в математике термин «евклидово пространство» используется для обозначения геометрических объектов с тремя и большим количеством измерений.

Источник пустоты. Древние мудрецы Пифагор, Демокрит, Аристотель соотносили геометрическую точку с мельчайшим элементом пространства и обозначали единицей, но Евклид зачем-то сопоставил точку с отсутствием единицы.

Научный выбор. Несуществующая безразмерная точка Евклида противоречит не только здравому смыслу, но является также источником ошибочных выводов и парадоксов. Тем не менее, современная математика предпочла логическую ошибку Евклида верному мнению всех его предшественников.

Фундаментальная строгость. Современная математика – «точная» наука, потому что она построена на самом «точном» понятии м н о ж е с т в а, за которое принимается одно из 3-х: либо совокупность элементов; либо отсутствие совокупности (о д и н элемент); либо отсутствие меры (п у с т о е множество).

Миллениум. Наименьшее натуральное число у Пифагора равно единице, а у Бурбаки наименьшее натуральное число равно нулю, поэтому третье тысячелетие в Париже наступило на один год раньше, чем на Земле, то есть первого января 2000 года вместо 1.01.2001 года.

Миллениум в натуре. Третье тысячелетие в Париже наступило 1-го числа 1-го месяца 2000 года, а согласно Бурбаки оно должно было наступить в 0-й день 0-го месяца 0-го года, то есть 0.00.2000.

Нарушения закона тождества приводят не только к появлению разных натуральных рядов, но и к одновременному существованию двух несовместных бесконечностей, трёх геометрий, нескольких десятков понятий «пространство».

Причём больше всего от нелогичного математического мышления страдает многомерное пространство, где по причине пренебрежения законом тождества наблюдается ПОЛНОЕ НЕПОНИМАНИЕ смысла многомерности, а трёхмерные математические конструкции незаконно получают статус многомерных. Это становится возможным в результате отождествления совершенно разнородных понятий, как-то:

— многомерности – с многокомпонентностью;
— пространственной размерности – с мощностью произвольного множества;
— пространства как свойства материи – с множеством ЛЮБЫХ элементов.

О пагубных последствиях такого «многомыслия» предупреждал ещё Аристотель:

«Если же у слов нет определенных значений, тогда утрачена всякая возможность рассуждать друг с другом, а в действительности – и с самим собой; ибо невозможно ничего мыслить, если не мыслить каждый раз что-нибудь одно».

Как итог, «самую точную» «науку» переполняют парадоксы – экстравагантные вестники ложности породивших их теорий.

Парадоксы несоизмеримости и иррациональности

Уже две с половиной тысячи лет математика с гордостью заявляет об открытии так называемой несоизимеримости (отсутствии общей меры) диагонали со сторонами квадрата.

При этом она скромно умалчивает, что данное «открытие» было основано на введении иррациональности (бессмысленности, неразумности) за счёт уничтожения общей меры путём её беспредельного деления.

В результате, новая область математического творчества также оказалась подверженной ошибкам, заблуждениям и противоречиям, что всегда является питательной средой для парадоксов.

Гайку с метрической резьбой нельзя накрутить на болт того же диаметра с несоизмеримой дюймовой нарезкой, а провести диагональ, якобы несоизмеримую со сторонами квадрата, можно без труда.

Реализация иррациональных чисел невозможна, поскольку требует бесконечно большого времени, однако все естественные и искусственные объекты, основанные на иррациональных числах, были успешно созданы за конечное время.

«Открытие» несоизмеримости и иррациональности математика обосновывает тем, что допущение о рациональности якобы обращает нечётные числа в чётные, но при этом никто ни разу не упомянул о неприменимости понятия «чёт/нечёт» к бесконечно большим числам, каковыми являются текущие значения числителя и знаменателя при вычислении высокоточного мгновенного значения рациональной дроби!

Длина диагонали квадрата выражается иррациональным числом (корень из двух), несоизмеримым с числами, подчиняющимися рациональному мышлению, однако при этом изучение иррациональных чисел почему-то не относится к области психопатологии...

Математика называет изобретение иррациональных чисел «открытием» – тем самым она приписывает Автору вселенной неспособность к рациональному творчеству.

Причиной парадоксов этой группы является многотысячелетнее противоречие между дискретной реальностью и фундаментальным абстракционизмом аналоговой математики.

Избавление математики от абсурда несоизмеримости возможно лишь после отказа от ложной идеи непрерывности пространства и начала соблюдения в математике всеобщего закона диалектики о переходе количества (числа операций деления отрезка, то есть общей меры) в новое качество – дискретную точку, совокупность которых обеспечивает требуемую точность измерения.

Другими словами, математике надо просто вернуться к своим дискретным основам, поскольку корень из двух был рациональным числом ещё во времена Вавилона. А вычисление корня заканчивалось при достижении заданной точности:

. . .
99/70 = 1,4142 – точность до 4-х знаков;
. . .
665857/470832 = 1,4142135623 – точность до 10-ти знаков;
. . .

Кроме вавилонского, существует много других способов представления корня из двойки рациональной дробью, например:

√2 = m/n,

где

m – количество единиц измерения диагонали квадрата,
n – количество единиц измерения стороны квадрата,
(m+2n)/(m+n) – очередной, более точный, член последовательности.

Разумеется, об этом было прекрасно известно Пифагору и его ученикам. В дискретной пифагорейской математике вместо дробей использовались «отношения» целых чисел. Началом всего сущего считалась единица. Пространство (в частности, отрезок) пифагорейцы трактовали как совокупность точек. Точку они определяли как единицу, имеющую положение.

Миф о несоизмеримости с её спутниками – непрерывностью, бесконечностью, иррациональностью – берёт своё начало с Гиппаса (V век до Р. Х.), обрисованного его современниками в крайне мрачных тонах, что связано согласно историческим хроникам не с предполагаемой выдачей им секретов пифагорейской школы, а с реальным политическим соперничеством со своим учителем Пифагором.

Общие парадоксы

Законы философии в общем виде описывают всё, что происходит в мире, но при этом сам мир якобы устроен по «законам математики».

«Математические законы» противоречат «законам диалектики», но это считается допустимым.

Математика обосновывает истинность своих утверждений, опираясь на «законы логики», но при этом игнорирует «логический закон достаточного основания», не перепроверяя истинности исходных аксиом и постулатов.

Факт наличия математических парадоксов свидетельствует о нарушении «логического закона непротиворечивости», но при этом математические выводы всё равно считаются истинными.

Теория считается ложной при наличии хотя бы одного противоречия, но математические теории применяются, несмотря на наличие в них многих парадоксов.

Для понимания математики нужны якобы особые, математические способности, но при этом математику в школе преподают всем без исключения.

Математика противопоставляет себя религии, но при этом вера в вымышленные математические догматы (нуль, непрерывность, бесконечная прямолинейность и делимость...) остаётся неизменной на протяжении тысячелетий, то есть существует дольше догматов церковных.

Ложное основание

Рис. 21. Ложные основы.

Парадокс парадоксов

Зная, что любой парадокс свидетельствует о наличии противоречий, математика упорно продолжает использовать теории, содержащие парадоксы, утверждая этим истинность выводов, основанных на ложном фундаменте.

Указ царицы

Рис. 22. Указ царицы

Выводы

До тех пор, пока математика будет продолжать развиваться в рамках своих ошибочных первооснов, она обречена оставаться неиссякаемым источником новых парадоксов.

Выводы теорий, содержащих хотя бы один парадокс, не могут считаться достоверными.

Парадоксальные теории не должны использоваться в науке и в образовании.

Предложения

Аксиомы и постулаты целесообразно переименовать в гипотезы. Это устранит догматизм и приблизит математику к науке.

Точку трёхмерного пространства следует признать идеализацией атома, что позволит сопоставить её с единицей и избавит от многих парадоксов.

Идеализацией 4D-гиператома (амера) будет гиперточка; ей будет соответствовать мельчайшая гиперединица, которую можно интерпретировать также как трёхмерный нуль. Это устранит запрет деления на нуль и позволит осознать ложность понятий пустоты, пустого пространства и пустого множества.

Так называемые «многомерные» векторы следует переименовать в многокомпонентные векторы, а «многомерные пространства» – в многокомпонентные конструкции, или структуры. Термин «Размерность» для существующих якобы многомерных «векторов» и «пространств» следует заменить термином Порядок.

Пространствами высших измерений (пространствами пространств) необходимо признать рекурсивно вложенные пространства. Требуется понять и принять, что пространства любой размерности имеют строго 3 (три) характеристики протяжённости, не больше и не меньше, а размерность выше трёх связана с проникаемостью гиператомов гиперпространств внутрь более крупных атомов меньшей размерности.

Материя. Пространство. Числа

Рис. 23. Материя. Пространство. Числа.

Литература

Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь: Основные термины. М.: Рус. яз., 1989. – 244 с.
Аристотель. Физика. // Из кн.: Философы Греции. Основы основ: логика, физика, этика. – Изд-во Эксмо-Пресс: Харьков 1999. – 1056 с.
Александр Котлин. Две теоремы об одном Конце света. – http://www.akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=2_04
Александр Котлин. Ноль равен гиперединице. – www.akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=1_11
Александр Котлин. Начала парадоксов. – http://www.akotlin.com/index.php?sec=3&lnk=4_14
Александр Котлин. Любая прямая является дугой. – http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=1_07
Александр Котлин. Какая «прямая» прямее? – http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=3_30
Александр Котлин. Эфир. Высшие сферы. – http://akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=6_02
Александр Котлин. Что такое Евклидово пространство? – http://www.akotlin.com/index.php?sec=3&lnk=6_28
Мир математики: в 45 т. // Т. 42: Эдуарде Арройо. Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики: Глава 2. Размышляя об N-ном количестве измерений. / Пер. с исп. – М.: Де Агостини, 2014. – 144 с.

28 мая 2016 года
10 июня 2016 года
10 августа 2016 года
15 августа 2016 года
04 августа 2018 года

Написать комментарий:

Все комментарии на это произведение: