Начала парадоксов

1. Актуальность темы

Вначале были «Начала» [1, 2]; в начале «Начал» – Определения, за Определениями – Постулаты, затем – Аксиомы, за ними – Теоремы (в терминологии «Начал» – Предложения). Парадоксы в «Началах» не упоминаются. Однако возникнуть из ничего и существовать автономно без теоретической базы, подобно улыбке Чеширского кота, парадоксы, разумеется, не могли.

Внимательное ознакомление с «Началами» позволяет выявить необоснованность и противоречивость некоторых базовых определений и постулатов. Заметим, что парадоксальный характер таких фундаментальных понятий, как безразмерная точка, непрерывность и бесконечность, был известен ещё из апорий Зенона, то есть за 200 лет до создания «Начал». Более того, предшественники Евклида Левкипп и Демокрит нашли способ преодоления парадоксов Зенона путём замены безразмерной точки дискретными «атомами». Однако Евклид, видимо, посчитал эти меры излишними и сохранил противоречивые понятия в неизменном виде.

В результате, «Начала» ни только не устранили известные математические проблемы, но и создали предпосылки для будущих кризисов. Не секрет, что понятия безразмерной точки, непрерывности и линейной (потенциальной) бесконечности являются необходимыми условиями для введения самой одиозной абстракции – актуальной бесконечности. Недостаёт только одного – совмещения настоящего с будущим, что современные сторонники актуальной бесконечности достигают простым отбрасыванием времени, то есть путём мысленной остановки всех процессов во Вселенной [3].

Как следствие, в актуально-обездвиженной Вселенной перестают выполняться все законы движения, а «Целое» якобы становится «равно своей части». К чести Евклида надо отметить, что подобного абсурда он не допустил, о чём свидетельствует его знаменитая 8-я аксиома: «Целое больше своей части»!

Вызывает сожаление тот факт, что обнаруженные Зеноном математические парадоксы не только не вошли в школьные учебники, но их последствия до сих пор недооцениваются, опасность принижается, а потенциальная предрасположенность «Начал» к генерированию новых парадоксов замалчивается. Более того, зачастую насаждается ложное представление о якобы успешном устранении парадоксов без внесения каких-либо изменений в фундаментальные основы математики.

Целью настоящей статьи является показ неразрывной связи парадоксов с «Началами» античной и современной математики.

2. Парадоксы точки

В самом начале «Начал», точнее, в разделе Определений, были определены такие понятия, как «Точка», «Линия», «Поверхность» и «Тело».

Чтобы не было сомнений относительно парадоксального характера данных определений, приведём их почти дословно.

• ТЕЛО (определение 1, кн. 11) есть то, что имеет длину, ширину и глубину.
• ПОВЕРХНОСТЬ (определение 5, кн. 1) – только длина и ширина (без глубины).
• ЛИНИЯ (определение 2, кн. 1) – длина без ширины (и без глубины).
• ТОЧКА (определение 1, кн. 1) есть то, что не имеет частей.

Однако логическим следствием из трёх первых определений будет следующее определение точки:

• ТОЧКА есть то, что не имеет ни длины, ни ширины, ни глубины.

Таким образом, согласно Евклиду, точка неделима и безразмерна, что полностью согласуется и с современными о ней представлениями [4, с. 113]. Поскольку абстракция «безразмерности» противоречит не только логике, но и современным знаниям о реальном мире, не удивительно, что данное противоречие инициирует появление целой серии выявленных автором парадоксов.

• Парадокс 2.1. Точка не имеет размера, но образованные из безразмерных точек линии имеют длину, фигуры – площадь, тела – объём!

• Парадокс 2.2. Точка имеет нулевую размерность, однако образованные из нульмерных точек линии одномерны, фигуры – двухмерны, тела – трёхмерны!

• Парадокс 2.3. Точка считается геометрическим объектом, однако у этого «объекта» нет даже графического образа!

• Парадокс 2.4. Будучи ничем, то есть пустотой, точка не существует, однако несуществующая точка обладает положением в пространстве, то есть координатами!

• Парадокс 2.5. Ничто не возникает из ничего, однако в «Началах» все геометрические объекты состоят из безразмерных точек, то есть из пустоты!

3. Парадоксы отрезка

За Определениями в «Началах» были даны Постулаты. Процитируем те из них, что постулируют допустимость употребления таких парадоксообразующих понятий, как «непрерывность» и «бесконечность».

• Постулат 2. «Ограниченную прямую можно НЕПРЕРЫВНО продолжать по прямой».
• Постулат 5. «... то две прямые линии, продолженные БЕСПРЕДЕЛЬНО, взаимно встретятся...»

Из данных постулатов следует, что безразмерные точки вплотную примыкают друг к другу, а их количество в ограниченном отрезке линии бесконечно. Закономерным следствием взаимодействия двух противоречащих здравому смыслу абстракций является обнаружение автором новой группы парадоксов.

• Парадокс 3.1. Точки дискретны, а состоящий из дискретных точек отрезок непрерывен!

• Парадокс 3.2. Длина отрезка конечна, а количество точек в отрезке бесконечно!

• Парадокс 3.3. Отрезок конечен, однако для рисования (идеальным карандашом, толщиной в одну точку) последовательности составляющих его точек потребуется бесконечно большое время.

• Парадокс 3.4. Неравные отрезки содержат одинаковое (бесконечное) количество точек!

• Парадокс 3.5. Размер отрезка не зависит от длины, а зависит от способа её вычисления.

Пример 3.5. а)

• размер_точки = 0;
• размер_отрезка = 0 + 0 + ... + 0 + ... = 0.

Пример 3.5. б)

• количество_точек_в_отрезке = 1 + 1 + ... + 1 + ... = ∞;
• размер_отрезка = 0·∞ = 10^-k·10^k, k→∞ = 10⁰ = 1.

4. Парадоксы прямой

Широкое распространение в «Началах» получила абстракция «прямой» линии. Важно, что связанные с «прямой» постулаты никак не ограничивают её длину.

• Постулат 1. «От всякой точки до всякой точки можно провести ПРЯМУЮ».
• Постулат 2. «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по ПРЯМОЙ».

Однако рассуждения о неограниченной «прямой» без связи её с конкретным пространством лишены смысла. Любая «прямая», будучи совокупностью точек пространства, не может находиться вне пространства. В связи с этим, говоря о «прямой», необходимо предварительно определиться с пространством, которому данная «прямая» принадлежит.

Поскольку в реальном мире все пространства образованы вращающимися объектами и являются замкнутыми, абстракция бесконечной прямой линии утрачивает свою адекватность, а использование терминов «прямая» и «бесконечная прямая» в реальных задачах чревато появлением ещё одной группы парадоксов.

• Парадокс 4.1. Любая «прямая» является дугой.

• Парадокс 4.1.1. «Прямая», соединяющая две точки на поверхности Земли, является дугой идеальной окружности, опоясывающей Землю.

• Парадокс 4.1.2. «Прямая», соединяющая две точки в околоземном пространстве, является дугой околоземной орбиты.

• Парадокс 4.1.3. «Прямая», соединяющая две точки в межпланетном пространстве солнечной системы, является дугой «планетарной» орбиты.

• Парадокс 4.1.4 «Прямая», соединяющая две точки в межзвёздном пространстве Галактики, является дугой «звёздной» орбиты.

• Парадокс 4.1.5. «Прямая», соединяющая две точки в межгалактическом пространстве Вселенной, является дугой «галактической» орбиты.

• Парадокс 4.2. Ограниченная «прямая», продолженная беспредельно в любую сторону, является завершённым циклом (витком орбиты).

5. Выводы

1. Часть базовых понятий в «Началах» не выдержала проверку временем и превратилась в источник парадоксов.
2. Связь парадоксов с «Началами» незаслуженно замалчивается, что способствует их одностороннему идеализированному восприятию.
3. При изучении «Начал» необходимо разъяснять учащимся, что область применения абстракций безразмерной точки, непрерывности и линейной бесконечности ограничена задачами иллюзорного 3-х мерного пространства, что не позволяет даже приблизиться к пониманию и объяснению повсеместно наблюдаемых проявлений реального многомерного Мира [5].

1. Начала Евклида. Книги I-VI. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. – Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, М.-Л.: 1950. – 450 с.
2. Начала Евклида. Книги XI-XV. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. – Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, М.-Л.: 1950. – 335 с.
3. Александр Котлин. Не все абстракции одинаково полезны. – www.akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=3_10
4. Размерность. – В кн.: Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь: Основные термины. М.: Рус. яз., 1989. – 244 с.
5. Александр Котлин. Три причины «трёхмерности» пространства. – www.akotlin.com/index.php?sec=1&lnk=3_12

Написать комментарий:

Все комментарии на это произведение: