Точка опоры

Многие проблемы математики, в частности, её беспомощность в описании целого ряда явлений и событий окружающего мира во многом объясняются нежеланием вводить определение точки и разбираться с её свойствами.

ЕСТЬ ТАКАЯ ТОЧКА зрения

Для начала рассмотрим несколько цитат:

© «Прежде всего, поставим вопрос об определении основных геометрических образов: точка, прямая линия и плоскость. Заметим, что определить какое-нибудь понятие – значит выразить его через понятия, ранее уже установленные. Если же искать определение простейших понятий, то дело неизбежно сведётся лишь к замене одного термина другим, в свою очередь требующим определения. Так было и у Евклида, который понятие "линии" определил через понятие "длины" или "границы", а эти последние не определял. Поэтому можно сначала не искать определения простейших геометрических понятий, а принять их за исходные, которые нельзя уже выразить через понятия более простые. "Точка", "прямая" и "плоскость" и принимаются за такие первичные, неопределенные геометрические понятия. По отношению к ним устанавливается целая система основных положений "аксиом", принимаемых за исходные недоказуемые положения» [1].

© «Таковы же определения, которые вы найдёте в удивительной и несколько раз премированной книге Гильберта "Основания геометрии". Посмотрим, как он начинает: вообразим три системы вещей, которые мы назовём точками, прямыми и плоскостями. Что это за "вещи" – мы не знаем, да и незачем нам это знать. Было бы даже греховно стараться это узнать. Всё, на что мы можем претендовать, сводится к тому, чтобы мы усвоили относящиеся к ним аксиомы, например следующую: две различные точки всегда определяют прямую, и комментарий к ней: вместо "определяют" мы можем сказать, что прямая проходит через две точки, или соединяет эти две точки, или что две точки расположены на прямой» [2].

© «Таким образом, понятие (математической) точки само по себе вне рамок планиметрии никакому определению не подлежит: точка, как и пресловутый поручик Киже, "фигуры не имеет", так что не склонный задумываться над происхождением математических понятий "чистый" математик, пожалуй, сочтёт, что знакомое каждому общежитейское понятие точки как мельчайшей ("неделимой") области физического пространства или как следа однократного касания бумаги карандашом или иным заостренным пишущим предметом имеет к понятию математической точки не больше отношения, чем индийский или африканский слон – к шахматному» [3].

Чтобы всё-таки разобраться с тем, насколько справедливы все выше озвученные выводы, попробуем...

ДОЙТИ ДО ТОЧКИ

Поскольку математика позволяет себе оперировать словосочетанием «точка на прямой», сформулируем, не вводя определений, следующую аксиому.

АКСИОМА.
Любой отрезок (прямой) состоит из точек (рис. 1).

ТЕОРЕМА 1.
Любой отрезок имеет в своём составе не менее двух точек.

Доказательство.
Поскольку отрезок прямой является частью прямой, он ограничен с двух сторон и, следовательно, должен иметь, по меньшей мере, две крайние точки: точку начала отрезка и точку конца отрезка.

ТЕОРЕМА 2.
Любой отрезок может быть поделён, по крайней мере, на две части.

Доказательство.
Поскольку любой отрезок содержит хотя бы две точки (теорема 1), он может быть поделён, по крайней мере, на две части.

Следствие 2.1.
Отрезок, состоящий из двух точек (минимальный отрезок), после деления перестаёт существовать, так как вырождается в две отдельные точки.

Следствие 2.2.
Точка имеет конечный линейный размер, равный половине длины минимального отрезка (следствие 2.1): 1 dot = L₂ / 2, где L – длина отрезка.

Следствие 2.3.
Длина любого отрезка определяется количеством содержащихся в нём точек: L_k = K dot, где K – количество точек.

Следствие 2.4.
Размеры точки на плоскости равны 1 dot.

Поскольку точка является также местом пересечения отрезков, то длина точки в одном из отрезков будет равна ширине точки в другом из пересекающихся отрезков. Таким образом, толщина (ширина) отрезка будет равна линейному размеру точки, то есть 1 dot (рис. 2).

Следствие 2.5.
Размеры точки в пространстве равны 1 dot.

В связи с тем, что пересекающиеся отрезки могут лежать в разных плоскостях (например, второй отрезок может быть перпендикуляром к плоскости, в которой лежит первый отрезок), можно утверждать, что графический образ точки на плоскости является также поперечным сечением второго (вертикального) отрезка (рис. 3). Из пересечения ортогональных отрезков в одной конечного размера точке, следует, что пространственным графическим образом точки является симметричное тело, например, элементарная сфера, имеющая диаметр, равный 1 dot.

ТЕОРЕМА 3.
Точка неделима.

Доказательство.
Предположим обратное, то есть будем утверждать, что точку можно поделить. В этом случае точка будет обладать свойством отрезка (теорема 2). Следовательно, можно заключить, что точка содержит в себе отрезок. Однако утверждение, что часть (точка) содержит в себе целое (отрезок), является абсурдом. Таким образом, предположение о делимости точки неверно, то есть теорема доказана.

ТЕОРЕМА 4.
Деление отрезка заканчивается, когда хотя бы одна из его частей вырождается в точку (рис. 4).

Доказательство.
Если в результате деления отрезка хотя бы одна из частей отрезка сократилась до точки, дальнейшее деление этой части отрезка должно быть прекращено, так как деление точки невозможно (теорема 3).

ТЕОРЕМА 5.
Бесконечное деление отрезка невозможно.

Доказательство.
Поскольку любой отрезок (прямой) представляет собой лишь часть прямой, его размер ограничен, а количество точек внутри отрезка конечно. Следовательно, процедура деления конечного отрезка будет завершена за конечное число шагов.
Аналогом процедуры деления отрезка является процедура последовательного деления целого числа на 2, применяемая для перехода от десятичного представления числа к двоичному.

ПОСТАВИМ ТОЧКУ, или сформулируем выводы

1. «Бесконечно» малые величины не существуют, так как процесс деления отрезка завершается за конечное число шагов в момент вырождении отрезка в точку.
2. Число «ноль» не существует, так как пределом деления отрезка прямой является точка, а не мифическое «ничто». Однако в виду пренебрежимо малых размеров точки её можно условно рассматривать в качестве нуля.
3. Понятие «непрерывности» является фикцией, поскольку любое пространство состоит из неделимых дискретных элементов – точек.
4. В 2500-летней истории апорий Зенона [4] можно, наконец, поставить точку.

1. А. П. Киселев, Н. А. Рыбкин. Геометрия: Стереометрия: 10–11 классы: Учебник и задачник. – http://www.math.ru/dic/206
2. Анри Пуанкаре. Наука и метод. Книга II. Математическое рассуждение. Глава II. Математические определения и преподавание. – СПб., 1910. – http://www.philosophy.ru/library/poincare/index.htm
3. И. Яглом. Что такое математика. – Из кн.: Математические структуры и математическое моделирование / Авт. И. Яглом. – М.: Сов. радио, 1980. – http://www.ega-math.narod.ru/Quant/Sawyer.htm
4. Руслан Хазарзар. Апории Зенона. – http://warrax.net/88/zenon.html

10 декабря 2010 года